Beschreibung
Neue Blicke durch die alten Locher G. CH. liCHTENBERG o. Funktionentheorie ist nach klassischem Sprachgebrauch die Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veranderlichen. Der BegrifT der holomorphen Funktion kann im wesentlichen auf drei Weisen eingefUhrt werden: einmal durch die Forderung nach komplexer DifTerenzierbarkeit, zum anderen durch die Bedingung der Existenz einer Stammfunktion im Kleinen, und schlieBlich durch die Voraussetzung der lokalen Entwickelbar keit in eine Potenzreihe. Durch die Aquivalenz dieser methodisch verschiedenen Definitionen gewinnt die Funktionentheorie zu ihrem Reichtum die Ge schlossenheit hinzu, urn derentwillen C. L. Siegel sie in seinen Vorlesungen als ein einmaliges Geschenk an die Mathematiker bezeichnet. Dieses Taschenbuch ist der erste Teil einer zweibandigen Darstellung der Grundlagen der Funktionentheorie, die auf eine an der Universitat MUnster im Sommersemester 1968 und Wintersemester 1968/69 yom zweiten der beiden Autoren gehaltene Vorlesung zurUckgeht. Die beiden Zugange zur Funktionen theorie, die Cauchysche Theorie der komplex difTerenzierbaren Funktionen einschlieBlich der Theorie der Stammfunktionen und die WeierstraBsche Theorie der in Potenzreihen entwickelbaren Funktionen, werden darin zunachst unabhangig voneinander dargelegt. Dadurch wird insbesondere die Tragweite des WeierstraBschen Ansatzes deutlich, die in den heute meist gegebenen gemischten Darstellungen nicht so sichtbar wird. AuBerdem treten die StelJen im.Aufbau der Funktionentheorie besonders klar zu Tage, an denen das Zu sammenwirken der beiden Ansatze unumganglich zu sein scheint.
Autorenportrait
InhaltsangabeI. Komplex differenzierbare Funktionen (Cauchysche Theorie).- § 1 Der Körper der komplexen Zahlen.- 1. Definition der komplexen Zahlen.- 2. Die Bewertung des Körpers ?.- 3. Topologisierung von ?.- 4. Polarkoordinaten.- 5. Die Einzigkeit von ?.- § 2 Komplex differenzierbare Funktionen.- 1. Der Kalkül der Wirtingerschen Ableitungen.- 2. Komplexe Differenzierbarkeit.- 3. Beispiele.- § 3 Kurvenintegrale.- 1. Stückweise stetig differenzierbare Wege.- 2. Zusammenhang und Wegzusammenhang.- 3. Differentialformen.- 4. Kurvenintegrale.- § 4 Stammfunktionen und Homotopie von Wegen.- 1. Totales Differential und Stammfunktion.- 2. Lokale Integrabilität.- 3. Homotopie von Wegen.- 4. Ein Fortsetzungssatz.- § 5 Cauchyscher Integralsatz.- 1. Reell stetig differenzierbare Funktionen.- 2. Cauchyscher Integralsatz.- § 6 Der Index eines geschlossenen Weges.- § 7 Die Cauchysche Integralformel.- 1. Cauchysche Integralformel.- 2. Satz von Morera.- 3. Riemannscher Hebbarkeitssatz.- § 8 Die logarithmische Ableitung.- 1. Definitionen.- 2. Homomorphismen.- 3. Verknüpfung der Homorphismen.- 4. Der Logarithmus.- II. Holomorphe Funktionen (Weierstraßscher Standpunkt).- § 1 Bewertete Körper.- 1. Bewertungen.- 2. Beispiele nicht-trivial bewerteter Körper.- 3. Archimedische und nicht-archimedische Bewertungen.- 4. Die Bewertungen des Körpers O.- 5. Bewertungstopologie und Vollständigkeit.- § 2 Formale Potenz- und Laurentreihen.- 1. Definitionen.- 2. Substitutionshomomorphismen.- 3. Formale Differentiation.- § 3 Analytische k-Algebren.- 1. Die Algebren Bt und At.- 2. Beispiele.- 3. Analytische Substitutionshomomorphismen und Differential-operatoren.- 4. Topologische Eigenschaften der analytischen Algebren.- 5. Satz von Montel für analytische Algebren.- § 4 Holomorphe Funktionen.- 1. Funktionentheoretische Interpretation der Algebren At und Bt.- 2. Identitätssatz für Potenzreihen und Supremumsnorm.- 3. Der Raum der holomorphen Funktionen.- 4. Identitätssatz für holomorphe Funktionen.- 5. Differentiation holomorpher Funktionen.- 6. Die Holomorphie der komplex differenzierbaren Funktionen.- § 5 Die Algebra der konvergenten Potenzreihen.- 1. Die Algebra k.- 2. Die k-Algebra-Homomorphismen.- 3. Der Endlichkeitssatz für analytische Homomorphismen.- § 6 Funktionentheoretische Folgerungen aus dem Endlichkeitssatz.- 1. Die lokale Gestalt holomorpher Abbildungen.- 2. Funktionentheoretische Folgerungen im Komplexen.- III. Laurentreihen, Singularitäten und Fortsetzbarkeit.- § 1 Laurententwicklung.- 1. Unendliche Laurentreihen.- 2. Cauchysche Ungleichungen.- 3. Eindeutigkeit der Laurententwicklung.- 4. Existenz der Laurententwicklung.- 5. Ganze Funktionen.- § 2 Isolierte Singularitäten.- 1. Der Begriff der Singularität.- 2. Klassifikation der isolierten Singularitäten.- 3. Meromorphe Funktionen.- § 3 Fortsetzung holomorpher Funktionen.- 1. Holomorphe Ergänzung reeller Funktionen.- 2. Das Schwarzsehe Spiegelungsprinzip.- 3. Analytische Fortsetzung längs Wegen.- § 4 Residuensatz und Anwendungen.- 1. Der Residuensatz.- 2. Null-und Polstellenordnung.- 3. Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes.- IV. Normale Familien.- § 1 Konvergente Funktionenfolgen.- 1. Kompakte Konvergenz.- 2. Folgen schlichter Funktionen.- § 2 Topologie in Funktionenräumen.- 1. Topologisierung von C(U).- 2. Metrisierung von C(U).- 3. Neuformulierung der Ergebnisse aus § 1.- § 3 Satz von Montel für holomorphe Funktionen.- 1. Satz von Montel für Folgen.- 2. Beschränkte Mengen in H(U).- 3. Konvergenzkriterien für Folgen in H(G).- Anhang. Topologische Hilfsmittel.- 1. Topologische Räume.- 2. Kompaktheit, Konvergenz.- 3. Metrische Räume.- 4. Banachräume und Banachalgebren.- Literatur.- Symbolverzeichnis.
